Fysiikka 5 – luku 4 Pyörimisen dynamiikka

Pyörimisen hitauteen vaikuttaa massan suuruuden lisäksi se, kuinka kaukana massa on pyörimisakselista. Kappaleen hitausmomentti J kuvaa kappaleen ominaisuutta vastustaa pyörimisliikkeen muutoksia. Hitausmomentti riippuu kappaleen massasta, pyörimisakselista ja massan sijainnista pyörimisakseliin nähden. Kappale, jonka hitausmomentti on suuri, on vaikeampi saada pyörimään kuin kappale, jonka hitausmomentti on pieni. Pyörimisliikkeen liikeyhtälö on

 ∑M = J α

                                                                                                                                                                            

Jossa ∑M on akselin A suhteen vaikuttava kokonaismomentti, J kappaleen hitausmomentti ja α kappaleen kulmakiihtyvyys. Liikeyhtälö  ∑M = J α on Newtonin 2.lain ∑F=ma vastine pyörimisliikkeelle.

                                                                                                                              

Systeemin hitausmomentti on

J = ∑mr²

Kappaleen pyörimisliikkeen energia Er on

Er = ½ Jώ²

Etenemisliikkeen ja pyörimisliikkeen vastaavuus

Etenemisliikkeen liikeyhtälö on ∑F = ma ja pyörimisliikkeen ∑M=Jα.

massa m         hitausmomentti J                                                                                

voima F          momentti M

kiihtyvyys a    kulmakiihtyvyys α

nopeus v        kulmanopeus ώ

paikka x         kiertokulma φ

Työ pyörimisliikkeessä

Momentti M tekee pyörivään kappaleeseen työn

Wr = M∆φ

jossa ∆φ on kiertokulman muutos momentin vaikutusaikana. Työperiaatteen mukaan voiman kappaleeseen tekemä työ W ilmenee etenemisliikkeessä kappaleen etenemisliikkeen liike-energian Ek = ½mv² muutoksena, eli W = ∆Ek. Vastaavasti on pyörimisliikkeessä momentin tekemä työ Wr joka ilmenee kappaleen pyörismisenergian muutoksena Wr = ∆Er.

Pyörimismäärä ja pyörimismäärän säilyminen

Kappaleen hitausmomentin J ja kulmanopeuden ώ tuloa

L = Jώ

kutsutaan pyörivän kappaleen pyörimismääräksi eli liikemäärämomentiksi L. Jos systeemiin vaikuttava ulkoinen kokonaismomentti on nolla, systeemin pyörimismäärä säilyy eli L = Jώ on vakio. Eli Jaώa  = Jlώl.

Vieriminen

Vierimisehdon mukaan vierimisliikkeessä kappaleen etenemisnopeus v ja kulmanopeus ώ toteuttavat vierimisehdon

v = ώr

Kappaleen vierimiselle ovat voimassa seuraavat ehdot:

s = φr

v = ώr

a = αr

joissa r on vierivän kappaleen säde.

Vierivän kappaleen energia

Vierivän kappaleen kokonaisliike-energia Ek-kok on etenemisliikkeen ja pyörimisliikkeen liike-energioiden summa

Ekkok = Ek + Er = ½mv² + ½Jώ²

Mekaanisen energian säilymislaki vierimisessä on

Epa + Eka + Era = Epl + Ekl + Erl