Fysiikka 5 – luku 5 Gravitaatio

Gravitaatio aiheutuu kappaleiden massasta. Gravitaatio on yksi maailmankaikkeuden neljästä perusvuorovaikutuksesta. Muut perusvuorovaikutukset ovat vahva vuorovaikutus, heikko vuorovaikutus ja sähkömagneettinen vuorovaikutus. Gravitaatiovuorovaikutus on etävuorovaikutus. Vuorovesi-ilmiö aiheutuu siitä, että Kuun ja Auringon vetovoimat ovat erilaiset maapallon eri puolilla.

Keplerin lait

Keplerin 1. lain mukaan planeettojen radat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on Aurinko.

Keplerin 2. lain mukaan planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

 

Keplerin 3. lain mukaan planeettojen kiertoaikojen T (Auringon ympäri) neliöt ovat verrannolliset niiden ja Auringon keskietäisyyksien r kuutioihin, eli

 

Gravitaatiolaki

Planeettaan vaikuttava gravitaatiovoima suuntautuu kohti Aurinkoa. Gravitaatio on keskeisvoima eli voima, joka suuntautuu aina kohti samaa pistettä. Newtonin gravitaatiolain mukaan kaksi pistemäistä kappaletta, joidan massat ovat m1 ja m2, ja joiden välinen etäisyys on r, vetävät toisiaan puoleensa voimalla, joka on suoraan verrannollinen kummankin kappaleen massaan ja kääntäen verrannollinen kappaleiden (painopisteiden) välisen etäisyyden neliöön:

jossa γ on gravitaatiovakio.

Mekaaninen energia gravitaatiokentässä

Aurinkokunnan mekaaninen energia on taivaankappaleiden liike-energiaa ja niiden välisten gravitaatiovuorovaikutusten potentiaalienergiaa. On sovittu, että äärettömän kaukana Auringon gravitaatiokentässä olevan kappaleen potentiaalienergia on nolla. Taivaankappaleen potentiaalienergia etäisyydellä r Auringosta saadaan määrittämällä työ, joka olisi tehtävä, jos taivaankappale siirrettäisiin tältä etäisyydeltä äärettömän kauas Auringosta. Gravitaation tekemä työ on negatiivinen, koska voima ja siirtymä ovat vastakkaissuuntaiset!

Gravitaatiokentässä kappaleen mekaaninen energia säilyy. Kappaleen (massa m) potentiaalienergia gravitaatiokentässä etäisyydellä r gravitaatiokentän aiheuttajasta (massa M) on

Ep = -γ mM / r

Mekaaninen energia gravitaatiokentässä:

E = Ek + Ep = vakio eli ½ mv² + (-γ mM / r ) = vakio.

Pakonopeudet

Ensimmäinen pakonopeus on nopeus, jolla kappale joutuu Maata kiertävälle radalle. Toinen pakonopeus on nopeus, jolla satelliitti tai avaruusalus vapautuu kokonaan taivaankappaleen, kuten Maan, vetovoimakentästä mutta jää Aurinkoa kiertävälle radalle. Tämä nopeus on vähintään 11,2 km/s. Kolmas pakonopeus 42,2 km/s on nopeus jonka kappale (avaruusalus) tarvitsee vapautuakseen Aurinkokunnan vetovoimakentästä. Tällöin kappale jää kiertämään Linnunradan keskustaa.

Fysiikka 5 – luku 4 Pyörimisen dynamiikka

Pyörimisen hitauteen vaikuttaa massan suuruuden lisäksi se, kuinka kaukana massa on pyörimisakselista. Kappaleen hitausmomentti J kuvaa kappaleen ominaisuutta vastustaa pyörimisliikkeen muutoksia. Hitausmomentti riippuu kappaleen massasta, pyörimisakselista ja massan sijainnista pyörimisakseliin nähden. Kappale, jonka hitausmomentti on suuri, on vaikeampi saada pyörimään kuin kappale, jonka hitausmomentti on pieni. Pyörimisliikkeen liikeyhtälö on

 ∑M = J α

                                                                                                                                                                            

Jossa ∑M on akselin A suhteen vaikuttava kokonaismomentti, J kappaleen hitausmomentti ja α kappaleen kulmakiihtyvyys. Liikeyhtälö  ∑M = J α on Newtonin 2.lain ∑F=ma vastine pyörimisliikkeelle.

                                                                                                                              

Systeemin hitausmomentti on

J = ∑mr²

Kappaleen pyörimisliikkeen energia Er on

Er = ½ Jώ²

Etenemisliikkeen ja pyörimisliikkeen vastaavuus

Etenemisliikkeen liikeyhtälö on ∑F = ma ja pyörimisliikkeen ∑M=Jα.

massa m         hitausmomentti J                                                                                

voima F          momentti M

kiihtyvyys a    kulmakiihtyvyys α

nopeus v        kulmanopeus ώ

paikka x         kiertokulma φ

Työ pyörimisliikkeessä

Momentti M tekee pyörivään kappaleeseen työn

Wr = M∆φ

jossa ∆φ on kiertokulman muutos momentin vaikutusaikana. Työperiaatteen mukaan voiman kappaleeseen tekemä työ W ilmenee etenemisliikkeessä kappaleen etenemisliikkeen liike-energian Ek = ½mv² muutoksena, eli W = ∆Ek. Vastaavasti on pyörimisliikkeessä momentin tekemä työ Wr joka ilmenee kappaleen pyörismisenergian muutoksena Wr = ∆Er.

Pyörimismäärä ja pyörimismäärän säilyminen

Kappaleen hitausmomentin J ja kulmanopeuden ώ tuloa

L = Jώ

kutsutaan pyörivän kappaleen pyörimismääräksi eli liikemäärämomentiksi L. Jos systeemiin vaikuttava ulkoinen kokonaismomentti on nolla, systeemin pyörimismäärä säilyy eli L = Jώ on vakio. Eli Jaώa  = Jlώl.

Vieriminen

Vierimisehdon mukaan vierimisliikkeessä kappaleen etenemisnopeus v ja kulmanopeus ώ toteuttavat vierimisehdon

v = ώr

Kappaleen vierimiselle ovat voimassa seuraavat ehdot:

s = φr

v = ώr

a = αr

joissa r on vierivän kappaleen säde.

Vierivän kappaleen energia

Vierivän kappaleen kokonaisliike-energia Ek-kok on etenemisliikkeen ja pyörimisliikkeen liike-energioiden summa

Ekkok = Ek + Er = ½mv² + ½Jώ²

Mekaanisen energian säilymislaki vierimisessä on

Epa + Eka + Era = Epl + Ekl + Erl

Fysiikka 5 – luku 3 Jäykän kappaleen mekaniikka

Voiman momentti

Voiman F momentti akselin suhteen on

M = Fr

jossa r on voiman vaikutussuoran kohtisuora etäisyys kiertoakselista eli momenttiakselista. Tätä etäiyyttä r nimitetään voiman varreksi eli momenttivarreksi. Voiman momentti kuvaa voiman vääntövaikutusta.

Kappaleen painopiste                                          

Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painon vaikutussuora kulkee aina, olipa kappale missä asennosa tahansa. Kun kappale tuetaan painopisteestään painon suuruisella voimalla, kappale on tasapainossa missä asennossa tahansa. Kappaelen tasapaino on vakaa eli stabiili, jos kappaleen potentiaalienergia on pienin. Jos kappale poikkeutetaan vakaasta tasapainosta. sen potentiaalienergia kasvaa ja se palaa takaisin lähtöasemaansa.

Kappaleen tasapaino on horjuva eli labiili, jos kappaleen potentiaalienergialla on suurin arvo. Horjuvassa tasapainoasemassa oleva kappale etääntyy tasapainoasemastaan, jos sitä poikkeutetaan vähänkin. Kappaleen tasapaino on epämääräinen eli indifferentti, jos kappaleen potentiaalienergia ei muutu, kun kappale poikkeutetaan tasapainosta.

Mekaaniset koneet

Vipu on tasapainossa, kun

F1r1 = F2r2

Väkipyörää käytetään voiman suunnan muuttajana. Nostamiseen tarvittavan voiman suuruus on yhtä suuri kuin kuormaan kohdistuva paino eli F=G. Liikkuvan väkipyörän avulla voidaan vaikuttaa myös tarvittavan voiman suuruuteen. Jos väkipyöriä on kaksi, nostamiseen tarvittava voima on F  = G/2. Taljassa käytetään useampia liikkuvia ja kiinteitä väkipyöriä. Jos väkipyöriä on neljä, kuorma riippuu neljässä köydessä ja kullakin köydellä on ¼ kuormasta. Nostamiseen tarvittavan voiman suuruus on F = G/4. Jos liikkuviin pyöriin kohdistuvat painot otetaan huomioon, köysiä kuormittava voima on Gkuorma + Gpyörät.

Jäykän kappaleen tasapaino

Kappale on tasapainossa, kun ∑F = 0 ja kun ∑M=0.

Fysiikka 5 – luku 2 Ympyräliike

Liikkeen suunnan muutos merkitsee aina kiihtyvää liikettä. Ympyräliikkeessä tarkastellaan kappaleen paikan muuttumista, ei asennon muuttumista. Kappaleen hetkellistä nopeutta kuvaava vektori on aina liikeradan tangentin suuntainen. Ympyräaradalla olevan kappaleen ratanopeus on

v = ώr

jossa ώ on kappaleen kulmanopeus ja r radan säde.

Tasainen ympyräliike

Normaalikiihtyvyys kuvaa kappaleen nopeuden suunnan muutosnopeutta. Normaalikiihtyvyyden a_n suunta on ympyräradan keskipistettä kohti, ja sen suuruus on

a_n = v² / r

Tasaisessa ympyräliikkeessä ympyräradalla olevan kappaleen liikeyhtälö on ∑F = m a_n. Tasaisessa ympyräliikkeessä massapistettä radalla pitävä KOKONAISvoima suuntautuu ympyrän keskipistettä kohti.

Muuttuva ympyräliike                 

Jos ympyräradalla etenevän kappaleen nopeuden suuruus muuttuu, kappale on muuttuvassa ympyräliikkeessä. Kun kappaleen nopeuden suuruus ympyräradalla muuttuu, sillä on tangenttikiihtyvyyttä. Kappaleen tangenttikiihtyvyys eli ratakiihtyvyys kuvaa ratanopeuden muutosta aikayksikössä. Ympyräradalla olevan kappaleen tangenttikiihtyvyyden a_t suuruus on

a_t = ∆v / ∆t

Kappale on kiihtyvässä liikkeessä, jos siihen vaikuttava kokonaisvoima eroaa nollasta. Jos ympyräradalla olevan kappaleen vauhti pysyy vakiona, kappaleella ei ole tangenttikiihtyvyyttä eli kiihtyvyys on normaalikiihtyvyyttä, jonka suunta on kohti ympyräradan keskipistettä. Jos ympyräliikkeessä olevan kappaleen ratanopeus muuttuu, kappaleen kiihtyvyys on normaalikiihtyvyyden ja tangenttikiihtyvyyden vektorisumma. Tällöin kiihtyvyyden (ja kokonaisvoiman) suunta ei ole ympyräradan keskipistettä kohti.

Ympyräradalla olevan kappaleen kiihtyvyys (kokonaiskiihtyvyys) a on tangenttikiihtyyvyden a_t ja normaalikiihtyyden a_n vektorisumma: a = a_t + a_n

Kiihtyvyyden suuruus on a = √ a_t² + a_n²

Kiihtyvyysvektorin suuntakulma tan θ = a_t / a_n

Fysiikka 5 – luku 1 Pyörimisliike

Levossa oleva kappale saadaan etenevään liikkeeseen kohdistamalla siihen voima. Pyörimisliikkeeseen kappale saadaan puolestaan kohdistamalla siihen momentti. Momentti aiheuttaa pyörimisliikkeen kiihtyvyyden. Kun momentti lakkaa vaikuttamasta, kappale jatkaa pyörimistään liikkeen jatkavuuden periaatteen mukaisesti. Pyöriminen kuitenkin hidastuu, koska kappaleen pyörimisenergiaa kuluu liikevastusten voittamiseen, ja lopulta pyöriminen lakkaa.

1.1   Pyörimisen kinematiikka

Pyörimisnopeus on

n = 1 / T

missä T on yhteen kierrokseen kulunut aika. Moottorien pyörimisnopeudet ilmoitetaan yleensä kierrosten lukumääränä minuutissa eli

n = 1 rpm eli revolution per minute. Kiertokulma φ kuvaa kappaleen kiertymisen suuruutta. ∆φ tarkoittaa kiertymää.

φ = s / r

missä s on kaaren pituus ja r säde. Kiertokulman yksiköksi on sovittu radiaani, 1 rad. Laskuissa radiaania ei oteta yksikkötarkasteluissa huomioon ja yksikkö rad voidaan siis jättää kirjoittamatta. Yhden kierroksen kiertokulma on

φ = 2πr / r = 2π rad, joten täysi kierros on 360° = 2π rad. Kiertokulman yksiköiden vastaavuudet ovat

1 kierros = 360° = 2π rad = 6,28 rad

1° = 2π / 360 rad = 0,0175 rad

1 rad = 360° /2π = 57,3 °

Kun pyörimisen suunta on vastapäivään, sopimuksen mukaan kiertokulman muutos on positiivinen, ja kun suunta on myötäpäivään, muutos on negatiivinen.

1.2   Tasainen pyörimisliike

Keskikulmanopeus on

ώk = ∆φ / ∆t

kulmanopeuden yksikkö on 1 rad/s. Tasaisessa pyörimisliikkeessä kulmanopeus on vakio. Jos alkuhetkellä t = 0 s kappaleen kiertokulma on φ0, kiertokulma ajan t kuluttua on

φ = φ0 + ώt

Kulmanopeus on pyörimisnopeuden n avulla esitettynä

ώ = 2π n

1.3   Muuttuva pyörimisliike

Tasaisesti kiihtyvässä pyörimisliikkeessä kulmakiihtyvyys α on vakio

α = ∆ώ / ∆t

Kulmakiihtyvyyden yksikkö on 1 rad / s². Tasaisesti kiihtyvässä pyörimisliikkeessä olevan kappaleen kulmanopeus ajan t kuluttua on

ώ = ώ0 + αt

jossa α on kappaleen vakiokulmakiihtyvyys, ώ0 kappaleen kulmanopeus hetkellä t = 0s ja ώ kulmanopeus hetkellä t. Kiertokulma tasaisesti kiihtyvässä pyörimisliikkeessä on

φ = φ0 +  ώ0t + ½ α t²

Fysiikka 4 – luku 4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen

4.1 Liikemäärä ja impulssi

Liikemäärä kuvaa liikkeen määrää, mutta lisäksi se kertoo liikkeen suunnasta, toisin kuin liike-energia. Liikemäärällä tarkoitetaan kappaleen massan ja nopeuden tuloa eli

p = mv

Liikemäärä on vektorisuure, ja sen suunta on kappaleen nopeuden suunta. Liikemäärän yksikkö on 1 kgm/s. Liikemäärää on sitä vaikeampi muuttaa, mitä isompi kappaleen massa on. Vakiovoiman impulssilla I tarkoitetaan kappaleeseen kohdistuvan voiman ja vaikutusajan tuloa eli

I = F ∆t

Impulssin yksikkö on 1 Ns. Impulssi on vektorisuure ja sen suunta on sama kuin kappaleeseen kohdistuvan kokonaisvoiman suunta. Kappaleen liikemäärä kasvaa, jos impulssi on liikkeen suuntainen, ja pienenee, jos impulssi on liikkeen suunnalle vastakkainen. Impulssiperiaatteen mukaan liikemäärän muutos on yhtä suuri kuin kokonaisvoiman impulssi kappaleelle, eli

I = ∆p

jossa I on kappaleen saama impulssi ja ∆p liikemäärän muutos.

4.2 Liikemäärän säilymislaki ja törmäykset

Kokonaisliikemäärä ennen vuorovaikutusta on yhtä suuri kuin vuorovaikutuken jälkeen:

m1v1 m2v2 = m1u1 + m2u2

jossa v1 ja v2 ovat kappaleiden 1 ja 2 nopeudet ennen vuorovaikutusta ja u1 ja u2 nopeudet välittömästi vuorovaikutuksen jälkeen. Systeemin liikemäärä säilyy kaikissa eristetyissä systeemeissä.

Törmäystä sanotaan kimmoisaksi, jos kappaleet eivät tartu törmäyksessä yhteen ja niiden muodot palaavat ennalleen. Tällöin pätee yhtälö

m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2.

Jos taas kyseessä on täysin kimmoton törmäys, eli kappaleet tarttuvat törmäyksessä yhteen, käytetään tätä yhtälöä:

m1v1 + m2v2 = (m1+m2) u

missä u on kappaleiden yhteinen nopeus törmäyksen jälkeen. Kimmoisassa törmäyksessä kappaleiden kokonaisliikemäärä säilyy ja liike-energiakin säilyy. Kimmottomassakin törmäyksessä kappaleiden kokonaisliikemäärä säilyy, mutta liike-energia ei säily ja kappaleiden muodonmuutokset jäävät pysyviksi.

Fysiikka 4 – luku 3 Energian säilyminen

Työ ja teho

Liikkuvaan kappaleeseen vaikuttava voima tekee työtä teholla

P = Fv

jossa F on kappaleeseen vaikuttava voima ja v voiman kanssa yhdensuuntainen nopeus. Kappaletta nostavan voiman kappaleeseen tekemä työ on yhtä suuri kuin kappaleen potentiaalienergian muutos:

W = mgh= ∆Ep

Nostamisessa tehty työ on nostoreitistä riippumaton. Potentiaalienergia valitun nollatason alapuolella on negatiivinen.

Liike-energia ja konservatiivinen voima

Kappaleen mekaaninen energia on

Emek = Ek + Ep

Kappaleen liikettä alkupisteestä takaisin alkupisteeseen sanotaan suljetuksi kierrokseksi. Jos voiman tekemä työ suljetulla kierroksella on nolla, voimaa sanotaan konservatiiviseksi voimaksi. Paino on konservatiivinen voima. Konservatiivisen voiman tekemä työ kappaleen liikkuessa pisteestä A pisteeseen B on tiestä riippumaton. Painon lisäksi muita konservatiivisia voimia ovat jousivoima ja sähköiseen vuorovaikutukseen liittyvä Coulombin voima.

Työn ja energian yhteys

W = ∆Ek = ½mv1² - ½mva²

Työperiaate pätee yleisesti, vaikka voima ei olisikaan vakio. Sen mukaan kokonaisvoiman tekemä työ ilmenee kappaleen liike-energian muutoksena. Mekaaninen energia säilyy, kun kappaleeseen vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia, eli potentiaali- ja liike-energian summa on vakio:

Ek + Ep = vakio

Värähdysliikkeen energia

Jousen potentiaalienergia on Ep = ½kx² ja värähtelijän kokonaisenergia on E = ½ kA², kun A on värähtelyn suurin poikkeama eli amplitudi. Jousen ja värähtelevän kappaleen kokonaisenergia on

Ekok = ½kA² = ½mvx² + ½kx²

jossa vx on värähtelijän nopeus etäisyydellä x tasapainoasemasta.

Mekaniikan energiaperiaate

Epa + Eka + W = Epl + Ekl